凸解析―「へこみのない形」の理論| 島根大学教授黒岩大史先生

島根大学総合理工学部数理科学科教授黒岩大史先生

凸解析―「へこみのない形」の理論

島根大学
総合理工学部数理科学科

教授黒岩大史先生

まずはハイライトで視聴

30分のミニ講義を聴講しよう！凸解析　「へこみのない形」の理論

へこみのない形のことを凸集合といいます。交わらない凸集合が二つあったとき、それらを分ける直線（あるいは平面）があります。図で描くと直感的にわかるこの性質から、驚くような（手品のような？）結果が得られます。一緒に講義ライブを楽しみましょう！

先生からのメッセージ

高校で学ぶ数学は、どちらかといえばパズルのようなもので、大学で学ぶ数学のほんの一面です。数学を学ぶと論理的思考力が身につくといわれますが、高校の時点では解法の学習が中心であり、大学生になって学年が進んで段々と論理的な能力が身についてくるものです。大学で数学を学ぶと、哲学的な側面や芸術的な側面が見えてきます。数学を学んで身につく力は意外と多いです。
しかし大学で数学を学ぶには、「数学が好きだから」という理由があれば十分だと思います。あなた自身の人生ですから、好きな道を自分で選んでください。

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夢ナビ講義も読んでみよう数学でさまざまなコトを解析して社会に役立てる～凸解析と最適化～

凹んでいない形の分析「凸解析」とはモノには、凹みがあるものとないものがあります。例えば生卵に凹みはありませんが、リンゴやみかん、ドーナツには凹みがあります。凹みがない形のモノを数学用語では「凸集合」と言い、これを分析することを「凸解析」と言います。高校数学でも、「上に凸」「下に凸」という言葉を通じて、凸解析に触れています。
凸解析においては、「双対性（そうついせい）」と呼ばれる性質が多く発見されています。例えば下に凸な関数には、ペアとなる下に凸な関数があって、これらは表裏一体の関係になっています。数学で社会的課題を解決する個人や組織が一番良い状態を見つけるために、「最適化」を行います。例えば運送会社による配送計画や、飛行機の運航スケジュールなどは、どのようにするかで総価格が変わります。このような状況を数学的に記述したものが最適化問題であり、これを解くことでさまざまな課題を解決できます。ある航空会社では、年間1千万ドルの経費を削減しました。このような最適化問題にも双対性があります。下に凸な関数を用いて記述された最適化問題には、ペアとなる最適化問題が存在しています。表と裏が並列して存在するのです。
また、最適化は1個人や1企業の行動ですが、2人以上が同時に行動したときには複雑になる場合があります。この状況の研究は「ゲーム理論」と呼ばれます。例えば、少子高齢化は、市民と行政のゲーム理論で説明することができます。このように解決が難しいような課題でも、数学を使って状況を分析し、的確な対応を行えば、十分な効果が得られると考えられています。新しい枠組み「集合値最適化」への挑戦人のステータスは数値で表されます。すなわち、すべての人はグラフ上の点として表現できます。点が集まると、クラスや組織などの集団となります。そこで、集団同士の比較を定式化し、最も良い集合を見つけるための新しい枠組みが「集合値最適化」です。この枠組みを活用し、より良い集団を作るためのヒントを得る研究も進んでいます。