数学の研究って何だろう？| 和歌山大学准教授北山秀隆先生

和歌山大学教育学部数学教育准教授北山秀隆先生

数学の研究って何だろう？

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教育学部数学教育

准教授北山秀隆先生

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30分のミニ講義を聴講しよう！数学の研究って何だろう？

皆さんは数学の研究とは何か知っているでしょうか？　数学と聞くと、計算とかテストのことしか思い浮かばず、あまり良い印象はないかもしれませんね。でもそれは誤解です。講義ライブでは、高校生でもわかるレベルの例を使って、数学の研究について紹介します。

先生からのメッセージ

私の専門である整数論は、高校の数学Aの教科書で勉強した整数の性質をさらに発展させたような研究分野です。例えば、2x+3y=1の整数解をすべて求めなさいという問題は、よく知られています。この問題をもっと複雑にしたような、人類がまだ解き方を知らないような問題がたくさん残されています。
そのような未解決な問題を解き明かしていくのが、整数論という研究分野です。問題の見かけは単純なのに、実はとてつもなく奥が深いのが整数論なのです。あなたも大学で専門的な数学を学び、研究してみませんか。

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フィボナッチ数列の性質フィボナッチ数列は、教科書にも出てくるので聞いたことがあるでしょう。その定義は、前とその前の数を加えたものが次の数字になる、というものです。各数字をFnとすれば、「F1=1 F2=1 F3=2 F4=3 F5=5……」となります。この数列には面白い性質があります。例えば、「F1+F2=2」、「F1+F2+F3=4」のように、各数字を加えた場合、右辺の数字にそれぞれ1を加えるとF4、F5と同じ数になります。数の起源が異なるのに同じ数字になるのです。未解決の問題「ウォール予想」また、（F1²）+（F2²）+（F3²）=1+1+4=6となりますが、これは実は、F3とF4を乗じたものと同じです。したがって、F1からF4までの数字の二乗を加えたものは、すべてを計算しなくても、F4とF5を乗じる、つまり3×5を計算すれば答え（15）が出ます。これらの例は、二乗した数字を加えたものなので、それぞれの数字を一辺とする正方形を隣接させて図形をつくると、それぞれの面積の和として表現することもできます。
これらの性質は証明することができますが、一方で、証明できない性質もあります。F1から順に、素数で割った余りの数列をつくります。例えば、2で割ると余りは、「1、1、0、1、1、0……」となり、「1、1、0」の周期で繰り返します。この場合は周期の数は3ですが、素数で割った場合の周期の数を一般的に導き出す公式は、今のところないと予想されており、「ウォール予想」と呼ばれています。何を問題にするかが数学者の個性数学の答えは1つではありません。まず数列の性質を見いだすことが重要です。これは、自分で問題をつくることと同じです。次に、この性質を証明することが求められます。どういう性質を見いだすか、何を証明するかは、数学者の個性です。その中で、解決できない問題に出会うことがあります。それに立ち向かうことが、数学研究のモチベーションとなっているのです。